集合序列的上极限和下极限

设{ ${A_n,n \ge 1}$ }，求$\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ 及$\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$，
其中$A_1=${ $1,a$ }，$A_2=${ $0,b$ }，$A_3=${ $1,b$ }，$A_4=${ $0,b$ }，$A_5=${ $1,b$ }。

Here ：

① $\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ 的解法是先并再交。
当$n=1$时，记$P_1=\bigcup\limits_{k=n=1}^\infty A_k=${ $0,1,a,b$ }，
当$n=2$时，记$P_2=\bigcup\limits_{k=n=2}^\infty A_k=${ $0,1,b$ }，

所以，$\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k=P_1\bigcap P_2\bigcap P_3\bigcap\cdots=${ $0,1,b$ }
若记$\lim\limits_{n\to\infty}supA_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$
则，$\lim\limits_{n\to\infty}supA_n=$ {$w|w$属于无穷多个$A_n$}

② $\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$ 的解法是先交再并。
当$n=1$时，记$Q_1=\bigcap\limits_{k=n=1}^\infty A_k=\varnothing$，
当$n=2$时，记$Q_2=\bigcap\limits_{k=n=2}^\infty A_k=${ $b$ }，

所以，$\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k=Q_1\bigcap Q_2\bigcap Q_3\bigcap\cdots=$ { $b$ }
若记$\lim\limits_{n\to\infty}inf A_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$
则，$\lim\limits_{n\to\infty}inf A_n=$ {$w|w$至多不属于有限多个$A_n$}